Теоретические основы электротехники (ТОЭ) КГЭУ

Примеры косвенных измерений

Часто возникает задача проведения не только прямых измерений, в которых результат получается непосредственно в процессе измерения с использованием одного средства измерения, но и измерений, в которых результат является функцией нескольких аргументов.

Косвенное измерение - это измерение, при котором искомое значение находят расчетом на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, функционально связанными с искомой и определяемыми посредством измерений. Искомое значение физической величины рассчитывают по известной формуле, а значения величин, входящих в формулу, получают прямыми измерениями.

Примером косвенного измерения является измерение сопротивления R или мощности P, рассеиваемой на сопротивлении, с использованием результатов измерений тока I через сопротивление и падения напряжения U на нем по формулам

R=U/I ;

P=UI .

Оценки погрешностей результатов косвенных измерений

Если измеряемая физическая величина У является функцией нескольких аргументов хi,

У=(x1,x2,…,xk), (7.1)

(например, косвенно определяемая величина либо результат измерения информационно-измерительной системы по результатам измерения нескольких каналов), то, представив У = Уи + Δ , хi = хиi + Δi , где индекс "и" относится к истинному значению, Δ - соответствующая абсолютная погрешность, разложив функцию У в ряд Тейлора и пренебрегая членами выше первого, получаем приближенное выражение

Уи+Δ=f(xи1,xи2,…,xиk)+Σ1k∂f/∂xi, (7.2)

С учетом того, что первое слагаемое представляет собой выражение для истинного значения измеряемой величины, результирующая погрешность равна

ΔУ=Σ1k∂f/∂xi∙Δi . (7.3)

Для нахождения связи среднеквадратического отклонения результирующей случайной погрешности с числовыми характеристиками частных погрешностей можно обратиться к теореме о дисперсии линейной функции. При этом в общем случае будем считать, что случайные величины хi и хj зависимы, т.е. закон распределения одной из них может зависеть от значения, которое при данном опыте приняла другая величина. Среднее квадратическое отклонение результирующей случайной погрешности равно

σУ=√[Σ1k(∂f/∂xi)2σ2i+2∙Σi=1,i<jrij∙(∂f/∂xi)∙(∂f/∂xj)∙σi∙σj] (7.4)

где sу, si, sj - средние квадратические погрешности величины У, i и j аргументов соответственно; rij - коэффициент корреляции между случайными погрешностями i и j аргументов. Обозначив

σ2yi=∂f/∂xi∙σi ,

формулу (9.4) можно представить в виде:

σУ= √[Σ1kσ2yi+2rij∙σyi∙σyj] (7.5)

В частном случае при двух слагаемых погрешности

σУ= √[σ2122+2r12∙σ1∙σ2] .

Если величины х1, х2, …, хk независимы, то коэффициент rij равен нулю при любых i и j. В этом случае формула (7.4) упрощается:

σУ= √[Σ1k(∂f/∂xi)2σ2i] (7.6)

Таким образом, средняя квадратическая погрешность функции некоррелированных аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функций по каждому из аргументов на среднеквадратические погрешности соответствующих аргументов.

В случае, когда величина У связана с независимыми случайными аргументами хi соотношением

У=A∙Xn1 Xm2∙…,

где А - постоянный множитель, относительная результирующая погрешность dу может быть найдена на основании (9.3) по следующей формуле:

δУ=n∙δx1+m∙δx2+… . (7.7)

где dхi - относительная погрешность отдельных аргументов.

Результирующее относительное среднее квадратическое отклонение sу=s/у, выраженное через относительные средние квадратические отклонения аргументов s0i = si/xi, может быть найдено через соотношение, полученное на основании (9.5) при условии rij = 0:

σ=n√[n2∙σ201+m2∙σ202+…] (7.8)

Для случая n = m = …

σ=n√[σ201202+…] (7.9)

Когда функция У определяется суммированием аргументов

y=x1+x2+…,

результирующая погрешность Δу равна сумме абсолютных погрешностей составляющих аргументов:

Δу1+ Δ1+…+ Δk . (7.9)

Результирующее среднее квадратическое отклонение находится по формуле

σУ= √[Σ1kσ2i+2rij∙σi∙σj] (7.10)

Так, для двух слагаемых

σ= √[σ21+ σ22+2r12∙σ1∙σ2] (7.11)

Для последнего случая при rij = 1

σУ= σ1+ σ2 . (7.12)

не знаешь что такое классы и объекты в Java, тогда тебе стоит посетить сайт о программировании

Лекции преподавателей КАИ можно найти на сайте онлайн библиотеки

Экология Татарстана изучается студентами казанских вузов

 
Самое читаемое: